Biografía

Euclides de Alejandría: Un hombre de eminente amabilidad y modestia.

Matemático griego clásico por excelencia y su nombre aún es, quizá, el más popular en la larga y desarrollada historia de las matemáticas. Nació en el año 330 a.C en la ciudad de Tiro, Grecia y murió en el año 275 a.C en Alejandría.

Euclides es considerado uno de los matemáticos más famosos de la antigüedad, sin embargo, se conoce muy poco acerca de su vida. Se dice que se educó en Atenas, lo que demostraría con su buen conocimiento de la geometría construida en la escuela de Platón, si bien no parece que estuviera familiarizado con las obras de Aristóteles. Instruyó en la cuidad de Alejandría donde adquirió un gran prestigio en el ejercicio de su educación durante el reinado de Tolomeo I Sóter, con el fin de demostrar un procedimiento abreviado para acceder al conocimiento de las ciencias exactas, a lo que Euclides restableció que no existía una vía real para llegar a la geometría. Como resultado de esto obtuvo el celebre tratado “Los elementos”, el cual consta de trece volúmenes y es considerado como una de las obras más distinguidas de la literatura universal. Al realizar esta obra Euclides se hizo conocido por el mero apodo de “El elementador” (el autor de los elementos). Además logro establecer las pautas fundamentales de la geometría hasta el siglo XIX.
La geometría de Euclides, además de ser un poderoso elemento de razonamiento deductivo, ha sido considerablemente útil en muchos campos del conocimiento; por ejemplo, en la física, la astronomía, la química y diversas ingenierías. Esto lo podemos ver cuando en el siglo II, como resultado de la presentación de Euclides se formuló la teoría ptolemaica del Universo, donde la tierra es el centro del Universo, y los planetas, la luna y el sol dan vueltas a su alrededor en líneas perfectas o sea circunferencias y combinaciones de circunferencias.
Para sintetizar podemos decir que Euclides y su obra Elementos fueron una referencia histórica, una especie de paradigma, para los programas de axiomatización “more geométrico”.

Obras de Euclides

Euclides escribió por lo menos una docena de obras, sin embargo, solo existen dos confirmadas: Los elementos y los Datos.

El libro “Los elementos”, es una de las obras científicas más conocidas del mundo la cual consta de 13 volúmenes, los cuales cubren diversos campos de la matemática griega: la geometría plana, la teoría de la proporción de Eudoxo, a teoría aritmética, la conceptualización de la conmensurabilidad e inconmensurabilidad, y la clasificación de rectas expresables y no expresables en términos de razones y finalmente la geometría del espacio.
En “los elementos” se presentan de manera formal cinco postulados basados en las formas regulares como las circunferencias, esferas, líneas, triángulos, conos, etc. Los resultados expuestos en el libro no fueron comprobados por primera vez por Euclides, sin embargo la organización del material y su exposición, sin duda se debe a Euclides. Alguno de los teoremas más destacables de este libro son:

La suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180°.
En un triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, que es el famoso teorema de Pitágoras.

2.-El libro “los Datos” es un texto auxiliar o complementario de “los Elementos”: tiene que ver con los libros I-IV y con la práctica del análisis geométrico como técnica de resolución de problemas: en el supuesto de que ciertas partes de una figura estén dadas -por lo que respecta a su posición, magnitud, etc.-, muestra la manera de determinar otras partes de la figura en ese mismo respecto.

Geometría Euclidiana

La geometría Euclidiana fue postulada por Euclides en su obra “Los elementos”, escrita hacia el año 300 a.C y es aquella que estudia las propiedades del plano y el espacio tridimensional, es por esto que también es considerada como geometría plana.

Esta rama de la geometría (de las matemáticas) se presenta en forma axiomática, es decir, se entrega una cantidad de postulados que son considerados verdaderos, y a través de operaciones lógicas, genera nuevos postulados donde se presenta una verdad evidente. Euclides planteó 6 postulados los cuales fueron:

1. Dados dos puntos se puede trazar una única recta que los une.

2. Cualquier segmento se puede prolongar indefinidamente.

3. Se puede trazar una circunferencia con centro en cualquier punto y de cualquier radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Si una recta al cortar a otras dos forman ángulos internos menores a un ángulo recto, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este postulado es nombrado como el de las paralelas y es considerado uno de los más conocidos, ya que garantiza que al cortar dos rectas existe un punto en común. Además se utiliza una frase condicional que la identifica, “... si un hecho sucede entonces otro echo debe suceder...” insinúa que mas bien era un teorema y que se podía demostrar a partir de los otros cuatro postulados.


6. Por tres puntos colineales pasa una único plano.

Teoremas Geometricos de Euclides

El teorema de Euclides consta de dos enunciados conocidos con los nombres de: Teorema del cateto y Teorema de la altura.

•El teorema del cateto establece que en un triangulo rectángulo, cada uno de los catetos es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Por lo tanto, en la figura 1 podemos ver:

Figura 1.

Se tiene que:

La demostración consiste en dar un triangulo ABC rectángulo en C, esto quiere decir que el ángulo recto se encuentra en dicho vértice; de modo que su hipotenusa es c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa. Cuando hablamos de proyecciones nos referimos por ejemplo a la supuesta iluminación del trazo CB o a el cual proyecta una sombra sobre la hipotenusa c, creándose así un segmento n, el cual es el reflejo de la sombra.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BCH tienen sus ángulos iguales, y por lo tanto son semejantes:
1.- Todos tienen un ángulo recto.
2.- Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3.- Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
•Por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC

de dónde…


•Por la semejanza entre los triángulos BCH y ABC

…y el teorema queda demostrado.

•El teorema de la altura establece que en cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa
Demostración…

Figura 2.

La altura del triángulo rectángulo ABC (ver imagen) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que

Multiplicando los dos miembros de la igualdad por hn se tiene:

por lo que…


Ejercicio: Teorema de los catetos

En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
a hipotenusa
b y c catetos
m proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n proyección del cateto c sobre la hipotenusa


La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.





Ejercicio: Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.


En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.

Teoremas Numéricos:

•El primer teorema o principio de Euclides dice que si p es un número primo y pab (p divide a a•b), entonces se cumple que pa o pb.
En el lenguaje del Álgebra Moderna, el enunciado del Primer Teorema de Euclides puede expresarse diciendo que el ideal generado por un número primo es un ideal primo en el anillo de los números enteros.
•El Segundo teorema de Euclides es el siguiente:
El conjunto formado por los números primos es infinito.


Demostración: Euclides demuestra su teorema utilizando reducción al absurdo:
Supongamos que hay un número finito de números primos. Si consideramos el producto de todos ellos y le sumamos uno, al dividir este nuevo número por cada uno de los primos obtenemos de resto uno. Por tanto debe de ser también primo o divisible por un primo que no aparecía en la lista inicial. Llegamos a una contradicción, y por tanto el número de primos ha de ser infinito.

Conclusiones:

Conclusión Teoremas geométricos: el teorema de Euclides está muy relacionado con el teorema de Pitágoras, ya sea porque el segundo puede ser demostrado a partir del primero (tal como se muestra en el contenido de este eje) o bien porque en la resolución de los ejercicios la determinación de algunos lados necesita de ambos teoremas.
El teorema de Euclides se puede utilizar en el cálculo de distancias que resuelvan algún problema contextualizado o en otros de carácter netamente geométrico.

También podemos concluir que las ideas de Euclides constituyen una considerable abstracción de la realidad. Por ejemplo, supone que un punto no tiene tamaño; que una línea es un conjunto de puntos que no tienen ni ancho ni grueso, solamente longitud; que una superficie no tiene grosor, etcétera. En vista de que el punto, de acuerdo con Euclides, no tiene tamaño, se le asigna una dimensión nula o de cero. Una línea tiene solamente longitud, por lo que adquiere una dimensión igual a uno. Una superficie no tiene espesor, no tiene altura, por lo que tiene dimensión dos: ancho y largo. Finalmente, un cuerpo sólido, como un cubo, tiene tres dimensiones: largo, ancho y alto.




Clip Teorema de Euclides

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A partir del vídeo anterior, podemos establecer, que al finalizar el contenido teórico del blog y esperar que los aprendizajes de su persona se hayan cultivado, quizás usted conocía el teorema del cateto o el teorema de la altura, pero ahora sabe quien es Euclides, "El elementador". Además conocimientos tan básicos hoy en día, hace más de 20 siglos atrás era un descubrimiento que prometía el análisis de otra materia el génesis geométrico, la geometría que hoy es tan amplia y nos ha permitido avanzar tanto en lo cultural, social y económico.










Actividad sugerida

Aprendizaje esperado:
•Resuelven problemas que involucran propiedades de los triángulos rectángulos; analizan las soluciones que se obtienen y su pertinencia.

Ejemplos:
El DABC de la figura es rectángulo en B. Si AB = 6 cm y AD = 4 cm, entonces CB mide

Solución:
Por el teorema de Euclides referente al cateto, tenemos que:
AB2 = AD . AC. Si colocamos AC = x, tenemos que:
62 = 4 . x, por lo tanto AC = x = 9 cm.
De lo anterior se deduce que DC = 5 cm.
Si aplicamos ahora el mismo Teorema al cateto BC:
BC2 = DC . AC
BC2 = 5 . 9
Por lo tanto BC =


En la figura ABCD es rectángulo y BE y DF son perpendiculares a la diagonal . Si BC = 6 cm y AB = 10 cm, entonces ¿cuánto mide EF?


Solución:

Utilizando el Teorema de Pitágoras en el DABC, se deduce que
AC = 10 cm.
Si utilizamos ahora el Teorema de Euclides referente al cateto en el mismo triángulo:
BC2 = EC . AC
62 = EC . 10
EC = 3,6
Pero por los triángulos AFD y CEB son congruentes, por lo tanto
AF = EC = 3,6.
De lo anterior deducimos que
EF = AC – AF – EC = 10 – 3,6 – 3,6 = 2,8 cm

Algunos chistes Matemáticos:

1.-
Dado que nací en Polonia pero fui educado en Francia, en promedio
soy alemán.

2.-- Papa, papa, me haces el problema de matematicas ?
- No hijo, no estaria bien.
- Bueno, intentalo de todas formas.

3.-

Un medico, un abogado y un matematico estan hablando de si es mejor
tener una esposa o novia. Empieza el abogado:
- Obviamente, lo mejor es tener una novia; porque el divorciarte de
tu mujer puede ser muy dificil, en cambio cortar con una novia es facil.
El doctor dice:
- No, no, esta claro que el tener una mujer te evita el estress y
mejora tu salud.
El matematico dice:
- Lo mejor es tener las dos; asi consigues que la esposa se crea que
estas con la otra, la otra se cree que estas con la esposa, y mientras tanto
tu puedes hacer matematicas.

4.-
- Cuantos lados tiene un circulo ?
- Dos, el de dentro y el de fuera.

5.-
- Quien invento las fracciones ?
- Enrique octavo.

6.-
Un estadistico podria meter su cabeza en un horno y sus pies en
hielo, y decir que en promedio se encuentra bien

7.-
Los simbolos algebraicos se usan cuando no sabes de que estas
hablando. (Philippe Schnoebelen)

8.-
Los profesores de matemáticas te dicen algo y lo que REALMENTE quieren decir es:


Claramente: No quiero pasar por todos los pasos intermedios.


Alguien tiene dudas: Espera que nadie diga nada y si alguien dice algo piensa cómo no entienden si es tan sencillo.


Ya pongan atención: Quiere que los estudiantes aprendan rápido, así terminar antes.

Trivialmente: Si tengo que mostrarte porque, te equivocaste de clase.

Obviamente: Si estabas dormido cuando lo explique, la cagaste, porque me niego a repetir la explicación.

Les doy una Pista: La forma mas difícil de hacerlo.

Podemos asumir que: Hay muchos casos, pero se como hacer este.

Usando el teorema "___": no sé QUÉ es lo que dice, pero SÉ que se resuelve por ahí.

El resto es álgebra: Esta es la parte aburrida; si no me creen, ¡háganlo!

Brevemente: Ya esta que se acaba la clase, así que escribiré y hablare rápido (no breve).

La dejo como ejercicio: Estoy cansado.

Fácilmente Demostrable: Hasta ustedes, con sus conocimientos insignificantes, pueden demostrarlo sin mi ayuda.

Para entretenerse

El salto de la rana...

De todos los juegos de mover cosas de un lado para otro, definitivamente este es el más diabólicamente complicado (por simple que parezca).

En un lago hay 7 piedras en línea y 6 ranas: 3 ranas macho en las 3 piedras de un lado, 3 ranas hembra en las 3 piedras del otro lado, y una piedra vacía central. Debes hacer que las ranas macho pasen a ocupar las piedras de las ranas hembra y viceversa.

Las ranas pueden saltar a la piedra siguiente (si está vacía), o pueden saltar a otra rana y aterrizar 2 piedras más adelante (si está vacía, claro).

Para los que no querías gastar muchos metros de papel, terminenlo rápido.

¿Cual es el número mínimo de movimientos?

PD: Cuando llevéis más de 20 movimientos, volved a empezar que se puede hacer con menos ...

Fuentes

Agradecimientos a:

http://www.geoka.net/triangulos/triangulo_rectangulo.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Primer_teorema_de_Euclides

http://es.wikipedia.org/wiki/Segundo_teorema_de_Euclides

http://youtube.com/user/sannjorge