martes, 23 de junio de 2009

Teoremas Geometricos de Euclides

El teorema de Euclides consta de dos enunciados conocidos con los nombres de: Teorema del cateto y Teorema de la altura.

El teorema del cateto establece que en un triangulo rectángulo, cada uno de los catetos es la media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.

Por lo tanto, en la figura 1 podemos ver:

Figura 1.

Se tiene que:



La demostración consiste en dar un triangulo ABC rectángulo en C, esto quiere decir que el ángulo recto se encuentra en dicho vértice; de modo que su hipotenusa es c. La altura h determina los segmentos m y n, que son, respectivamente, las proyecciones de los catetos b y a sobre la hipotenusa. Cuando hablamos de proyecciones nos referimos por ejemplo a la supuesta iluminación del trazo CB o a el cual proyecta una sombra sobre la hipotenusa c, creándose así un segmento n, el cual es el reflejo de la sombra.

Los triángulos rectángulos ABC, AHC y BCH tienen sus ángulos iguales, y por lo tanto son semejantes:
1.- Todos tienen un ángulo recto.
2.- Los ángulos B y ACH son iguales por ser agudos, por abarcar un mismo arco, y tener sus lados perpendiculares.
3.- Igualmente sucede con los ángulos A y BCH.
Puesto que en las figuras semejantes los lados homólogos son proporcionales, tendremos que:
•Por la semejanza entre los triángulos ACH y ABC


de dónde…


•Por la semejanza entre los triángulos BCH y ABC



…y el teorema queda demostrado.

El teorema de la altura establece que en cualquier triángulo rectángulo la altura relativa a la hipotenusa es la media proporcional entre las proyecciones ortogonales de los catetos sobre la hipotenusa
Demostración…


Figura 2.

La altura del triángulo rectángulo ABC (ver imagen) lo divide en dos triángulos rectángulos semejantes, de forma que



Multiplicando los dos miembros de la igualdad por hn se tiene:

por lo que…


Ejercicio: Teorema de los catetos


En todo triángulo rectángulo un cateto es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella.
a hipotenusa
b y c catetos
m proyección del cateto b sobre la hipotenusa
n proyección del cateto c sobre la hipotenusa


La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 30 cm y la proyección de un cateto sobre ella 10.8 cm. Hallar el otro cateto.





Ejercicio: Teorema de la Altura

En un triángulo rectángulo, la altura relativa a la hipotenusa es media proporcional entre los 2 segmentos que dividen a ésta.


En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 4 y 9 metros. Calcular la altura relativa a la hipotenusa.





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